Un artículo de Warlord

NOTA: Este artículo es tan sólo una pequeña introducción al mundo fractal. Para comprender realmente de que vá este tema, no olvidéis leer el artículo: ATRACCION FRACTAL.

Estamos muy acostumbrados quizás a utilizar sin mucho rigor el término de "Dimensión". Viajar a través de la cuarta dimensión, programas de tres dimensiones....

Nuestro mundillo, es un mundo de 3 dimensiones.A saber:anchura,longitud y altura, pero...¿existe la cuarta dimensión?, ¿y la quinta...?

Hace mucho tiempo, leí un libro llamado Planilandia (por cierto, sólo vale 200 pelas, aunque ya no se encuentra. Os recomiendo lo leáis).En dicho libro se narraba la vida en un mundo de dos dimensiones, es decir: Largo y ancho. (Esto es, una hoja de papel es un espacio de dos dimensiones. Las figuras no tienen altura). Los habitantes de este singular mundo eran figuras trigonométricas del tipo de triángulos, círculos y rectas.En dicho libro se narraba la vida cotidiana de un triángulo cualquiera. Un día, el triángulo recibió la visita de una figura de tres dimensiones:Una Esfera. Esta esfera sacó al triángulo de su triste mundo de dos dimensiones y le enseñó el concepto de altura.

Entonces iniciaron el viaje a través de todas las dimensiones:

- Dimensión 0: Es un mundo sin altura, anchura ni longitud,esto es,sería un punto. Para este punto, él lo era todo. No existía en su universo nada más que él, y si le hablabas, tomaba estos comentarios como pensamientos propios y encima se enorgullecía de su variedad de pensamientos

- Dimensión 1: Solo tiene longitud: Sería una recta. Sus habitantes eran puntos y líneas, y lo único que veían era al punto o linea que tenían a la derecha o a la izquierda. Infructuosamente, intentaron la esfera y el triángulo explicarle que existían más dimensiones.

- Dimensión 2 :El plano, lugar donde vivía el triangulo. Sus habitantes eran figuras sin altura: Triángulos, círculos ... Toda teoría sobre la existencia de una tercera dimensión era tomada como herejía

- Dimensión 3: Nuestro mundo, y lugar donde vivía la esfera. Ante la visión de esta nueva dimensión, el triángulo le dijo a la esfera:

Triangulo: Esfera, me has llevado a todas las dimensiones menores. En todas he visto su ignorancia en no imaginar otros mundos y dimensiones mayores que el suyo propio. Por favor, transpórtame ahora a la cuarta dimensión...

Esfera: ¿4 dimensión? ,¡no es posible!, ¡No existen dimensiones mayores que la tercera!

Triángulo: ¡Oh!, durante este viaje me has enseñado a ver e imaginar más allá de lo que vemos, ¿porqué ahora no aceptas la existencia de otros mundos?...

Con este ejemplo os quiero poner de manifiesto el problema del dimensionamiento. Es más o menos fácil de manejar espacios de dimensión 4, 5 ó 60, pero no lo es de entender para nadie, ni siquiera para los eruditos en el tema.

Dificil de comprender es también la geometría en espacios no euclídeos. Cuando dibujamos una figura en un papel, lo estamos haciendo en el llamado Plano Euclídeo, que es lo que conocemos y es conocido desde los antiguos griegos. Sin embargo, existen otras construcciones geométricas en espacios no euclídeos. Por ejemplo: Una esfera podía ser un globo terráqueo. ¿Cómo podemos representar una recta en la superficie de un globo terráqueo?. La única forma de dibujar una recta que una dos países sería con un hemisferio. (curva sobre la superficie de la esfera). Curioso, en la esfera las rectas son curvas. (es la llamada geometría esférica)

Desde hace unos 40 años, se planteó el mismo problema pero en espacios de dimensión fraccional. ¿Como sería una recta en un espacio de dimensión 0.5? ¿y un circulo en uno de dimensión 2.5?. Desde luego es difícil de creer que existan estas dimensiones ... pero, ¿porqué no?. El ejemplo anterior pone de manifiesto que las mentes no aceptan la existencia de dimensiones extrañas, pero de hecho existen. Y así nacieron los Fractales.

Los fractales son pues, figuras geométricas en espacios de dimension fraccional: Puntos, rectas, círculos.... en estos espacios ya no son como los conocemos, y su representación geométrica puede ser muy curiosa, como de hecho lo és. Una circunferencia en un espacio de dimensión 2.5 sería más consistente que dicha circunferencia, pero le faltarían "trozos" para llegar a tener la solidez de una esfera.

Lo de fraccional, puede llevar a confusión. Hay muchos numeros que no son fraccionales (los llamados irracionales). Entenderé por fraccional, cualquier numero no entero. (es decir, que no sea 0, 1, -1, 3, ....)

¿Porqué deben existir los fractales?.

Supongamos que estamos delante de la puerta de un gran edificio. Este edi ficio tiene una cierta anchura, longitud y altura. Es evidentemente un cuerpo de 3 dimensiones. Supongamos que tenemos unos maravillosos cohetes en los pies y comenzamos a volar, en linea vertical. El edificio se hará cad a vez mas pequeño y pequeño, y llegará un momento en que solo veamos el techo, un techo sin altura, es decir, sólo veremos un cuadrado de longitud y anchura por lo que para nuestros ojos tendría ahora dimension 2.

Veamos un ejemplo más claro: Supongamos que estamos en el Nou Camp. Es sin duda enorme, de dimension 3. Supongamos que cogemos ahora una nave espacial y nos vamos a la luna. Sólo con un buen telescopio lograremos ver desde allí el estadio, y a lo más solo veremos un punto. Recordemos que un punto no tiene ni longitud ni altura ni anchura. Por lo tanto es de dimensión 0.

La pregunta es: Entre el pasar de dimensión 3 a 2, o de 2 a 0, ... ¿no hay pasos intermedios?.En algún momento la dimensión debió de ser 2.9, 2.8, 2.7, 2.2, 2.1, 2.01, 2.001, 2.000000000001, ... 2. La respuesta es sí. Y este estudio, que fué iniciado principalmente por B. Mandelbrot hace ahora unos 15 años, llevó de lleno, al mundo de los fractales.

¿Pero para qué sirven?

La utilidad de los fractales es tan amplia como desconocida: Innumerables aplicaciones físicas, matemáticas, biológicas,...., aunque para nosotros no tendrá mas aplicación que la simplemente visual. Los fractales son útiles para rellenar figuras con contornos extremadamente irregulares (como paisajes), pues de hecho no hay nada más irregular que ellos. Difícilmente podríamos rellenar un paisaje con círculos cuadrados o triángulos. Necesitamos figuras tan caóticas como la naturaleza misma: Los fractales.

Comprenderéis ahora de verdad, lo difícil que sería explicar todos estos conceptos de una forma sencilla. La gente los suele manejar. Hoy en día ya es casi habitual encontrarse con un fractal en cualquier demo del amiga que se precie, pero si le preguntas al programador como lo ha hecho, seguramente te responderá que no sabe cómo. Simplemente se ha limitado a implementar una fórmula en un determinado lenguaje y que te dibuja dicha figura.

Por hoy, ya acaba el rollo. Espero vuestras cartas y preguntas, y aunque como dije antes soy un simple aficcionado, intentaré responder a todas.